在 19 世纪， 数学在根柢层面上发生了蜕变. 在它变得更深远、更广泛的同期， 对数学洞悉智力的要求也越来越高. 何况， 数学催生了一种工作. 大学和时刻研究所普遍涌现， 需要简略训诫高等课题的职员. 数学教师， 也曾是莫得经济保证的工作选拔， 此时则成了铁饭碗.

数学的研究越来越聚焦于精准的界说和严格的阐发. 欧拉洋洋万言的作风一经让位于柯西的空洞分析. 微积分演变为咱们今天所称的分析学科. 一语气这个世纪的一条分析干线， 是围绕傅里叶级数伸开的千般问题.

本章将探究这方面的一些遣散， 以黎曼对积分的界说与持续责任为起初， 以对实数现实的惊东说念主洞悉为热潮. 这只不外是一个爽脆的体验， 让你试吃一下微积分在这个变革的世纪中发生了什么.

着手 | 《微积分溯源：伟大念念想的历程》

作家 | [好意思] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆

摘自 | 《分析》一章

1

黎曼积分

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann， 1826—1866) 曾受教于卡尔·弗里德里希·高斯和古斯塔夫·狄利克雷， 也许是 19 世纪最有才能的数学家， 他完全纠正了几何学与分析学， 何况只用一篇著作就奠定了素数定理的阐发基础. 这一责任标明， 复平面上的微积分不错用来阐发， 不栽种 的素数个数渐近等于 . 1854 年， 为取得在德国大学担任教悔的经验 (Habilitation)， 黎曼需要提交一篇更高等的论文， 他选拔了建立轻易一个函数不错伸开成傅里叶级数的充要要求.

所成的论文《用三角级数来暗示函数》以对这个问题的历史综述运行. 黎曼接下来建立了一个函数可积的充要要求. 要津在于， 对于轻易预先指定的上界 ， 变差大于 的所在必须要在一些区间之内， 通盘这些区间的长度之和不错轻易小.

为了说得更明晰， 咱们需要界说函数在一丝的变差(振幅). 推敲 在通盘包含 的开区间上的变差. 在点 的变差 ， 界说为 在通盘包含 的开区间上的变差的下确界. 终点是， 当且仅当 在点 一语气. 函数 在 可积的一个充要要求是， 对轻易的 与 ， 变差大于等于 的点聚合在总长度小于 的一些区间内.

这个定理的阐发不错通过将定积分界说为

的极限而变得更浅薄， 其中 是区间 中的轻易一丝. 正如咱们在 4.6 节先容的， 当且仅当咱们不错适度各个区间的最大长度， 使得以下和式

与 0 轻易接近时， 定积分存在. 一语气函数是可积的， 因为咱们不错在每个区间上将变差 适度得富余小. 不外， 咱们也不错使得上述和式富余小， 只须咱们简略将那些变差比拟大的子区间的长度总数适度住.

举例， 只在一个点不一语气的有界函数是可积的. 尽管包含这个点的区间上的变差不可能小于该点的变差， 但咱们不错将区间的长度考取得富余小， 使得它对式 (5.1) 的孝顺富余小.

天然黎曼对定积分的界说很粗劣， 但对他的本意来说是完满的， 即建立函数可积的充要要求.

黎曼立即构造了一个函数， 它在包含它的每一个轻易小的区间内齐是不一语气的， 但它仍然是可积的. 他的函数是

其中 是 减去离 最近的整数， 在例外的情况中， 即当 为半整数时， 离它最近的整数有两个， 此时界说 等于 0. 举例， . 天然这个函数在每个区间上齐有一个不一语气点， 但对每个 ， 只存在有限多个点， 其变差栽种 . 这个函数的图像在图 5.1 中给出.

黎曼对定积分的临了一个孝顺， 是引入了瑕积分的宗旨. 他指出， 有可能通过取极限的形态来界说一个无界函数的积分. 当作例子， 等于 2， 这是因为

天然 在 上不可积， 但它的瑕积分存在.

图 5.1　黎曼的在每个区间上齐有不一语气点的可积函数:

2

微积分基本定理的反例

只须咱们只推敲一语气函数， 微积分基本定理就成立. 但要是咱们推敲的是具有无限多个不一语气点的函数， 就不行再假设当作黎曼和极限的积分与当作原函数的积分是等价的. 这么一个例子来自式 (5.2) 所给出的黎曼函数.

有些函数自己是导函数， 但不一定是一语气的. 一个规律的例子是不一语气导数 (discontinuous derivative)， 我将称之为 函数， 界说如下 (图 5.2):

图 5.2　当 时， ; 当 时，

当 时， 的导数是 . 当 时， 需要用到导数的极截止义来缱绻:

在 处不一语气， 因为

不存在.

正如加斯东·达布 (Gaston Darboux， 1842—1917) 在 19 世纪 70 年代所阐发的， 每个导函数一定具有介值性质.也就是说， 若 是某个函数的导函数， 则对轻易的 ， 以及介于 和 之间的轻易的 ， 一定存在某个 ， 使得 . 式 (5.3) 所界说的函数 具有一个在 处不一语气的导函数， 不外 仍然具有介值性质: 每个包含 的开区间也包含使得 取值为 的点， 以及取值为 之间轻易一个值的点 (图 5.3).

图 5.3　当 时， ; 当 时，

从达布的遣散不错推出， 式 (5.2) 所给出的黎曼可积函数不可能是一个导函数. 要是咱们界说

则 在 的轻易不一语气点齐不可导. 内的每个开区间齐包含无尽多个 的值， 使得 在 处不可导， 恰是因为被界说为积分的函数并不一定就可导.

在另一个标的又怎样呢？要是已知函数 是另一个函数 的导数， 是否总不错对 积分？严格说来， 不存在不错当作黎曼和极限的无界函数. 由此不错推出， 的导数在职何包含 的区间上不可积. 不外这还不够令东说念主信服， 因为瑕积分确凿存在. 这个问题的一个更强的版块如下: 要是已知函数 在区间 上每一丝可导， 何况其导数 在该区间上有界， 是否不错推出 在该区间上可积？换言之， 若在区间 上 存在且有界， 是否总有

令东说念主骇怪的是， 复兴是“否”. 原因是定积分有可能不存在. 这个遣散是由意大利数学家维托·沃尔泰拉 (Vito Volterra， 1860—1940) 在 20 岁时给出的， 在一年以后， 即 1881 年发表. 这种函数的一个反例的先容与解释可见 [10]， pp. 89-94.

天然有这些令东说念主不安的发现， 对于黎曼积分的真确问题倒不在于微分与积分并非老是互逆的流程， 而是在于遣散标明， 黎曼积分 —— 其界说用于澄清一个不一语气函数何时可积 —— 不太符合用来阐发对于积分的其他遣散. 终点是 19 世纪晚期的一个紧迫问题: 刻画那些不错逐项积分的级数. 这对傅里叶级数以过火他源于求解偏微分方程的级数来说尤为紧迫.

一个不可逐项积分的级数的例子如下:

其部分和是 (图 5.4)

图 5.4　 的图像， (实线)， (长虚线)， (短虚线)

跟着 的增大， 的驼峰越来越向右越过. 对 中的每个 跟着 的增大而趋近于 0. 因此，

这个级数的积分等于 0，

而 下方区域的面积是 ， 当 趋于无尽时， 它趋于 1:

在这个例子中， 无尽和的积分并不等于积分的无尽和.

亨利·勒贝格 (Henri Lebesgue， 1875—1941) 在其 1901 年的博士论文中， 提倡了一个不同的积分， 这不错摒除与黎曼积分持续联的好多远程. 他莫得分割函数的界说域， 而是选拔辩认值域.

在图 5.5 中， 值域被辩认为高度等于 1 的各个区间. 所鲜艳的区间， 是那些取值在 1 和 2 之间的点. 咱们用 ， 即 的估计， 来暗示通盘这些区间的长度之和. 更一般的是， 是那些函数值介于 和 之间的区间长度之和. (咱们将在 5.4 节看到轻易一个麇集的估计的界说.) 对于 在 上的积分， 咱们让每个估计 乘以对应函数值下界 而得到一个下界， 让每个估计 乘以对应函数值上界 而得到一个上界:

图 5.5　勒贝格的水平辩认

要是咱们考取一个更邃密的辩认， 比如 ， 且 ， 其中 取遍通盘的整数， 并令 是骄气 的 组成的麇集， 则定积分有上、下界如下:

当且仅当不错考取充分小的 ， 使得上式两头的上和与下和轻易接近时， 函数 的勒贝格积分存在. 上和与下和的差恰好是

因为 是有限的， 是以要是 在区间上的上界与下界齐是有限的， 那么不错考取充分小的 ， 使得这个差轻易小. 在这种情况下， 勒贝格积分的上界与下界趋向于并吞个极限.

值得指出的是， 勒贝格的门径不错处理在一个标的无界 (即无上界或无下界) 的函数， 而不消借助于瑕积分. 要是积分的下极限趋于 ， 那么定积分的值就界说为 . 要是积分的下极限趋于某有限值， 则上极限必定趋于并吞个值， 从而定积分具有一个有限值. 此外， 要是咱们允许 是无尽多个区间的并集， 则沃尔泰拉的函数不再组成微积分基本定理的反例. 诓骗勒贝格积分， 它的导数仍然是可积的. 不外最紧迫的在于， 勒贝格大大简化了决定一个级数何时不错逐项积分的问题. 今天， 大多数数学家在使用勒贝格积分， 非论是以隐含的形态， 照旧以明确的形态.

为使用勒贝格积分， 咱们需要对轻易的有界实数集 界说其估计 ， 而这意味着咱们需要清爽实数的子集的可能结构， 遣散标明， 这个挑战远远超出了 19 世纪上半叶数学家不错想见的难度. 对此， 咱们将在本章临了一节 (5.4 节) 探究.

不外， 即等于勒贝格积分也并不是白玉无瑕的. 要是咱们推敲函数

它具有界说邃密的导数，

但在职何一个包含 0 的区间上， 这个导数既莫得上界也莫得下界， 它的勒贝格积分不存在， 尽管其瑕黎曼积分确乎存在. 在 1912 年与 20 世纪 60 年代之间， 好几位数学家创造了克服这个问题的等价的积分界说， 普通被称为亨斯托克 (Henstock) 积分.

这里所传递出的信息在于， 积分的所有这个词课题远比咱们在一元微积分里学到的复杂. 可是， 学生必须要懂得函数既不错当作微分的逆运算， 也不错当作乞降的极限流程. 微积分基本定理恰好持续了积分的这两个不雅点， 何况微积分的诸多威力恰好依赖于这一持续.

3

魏尔施特拉斯和椭圆函数

在驳斥 19 世纪的分析学发展时， 必定要提到卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass， 1815—1897， 图 5.6)， 他被贝尔 (Bell) 誉为“分析学之父”. 咱们 (在 3.3 节) 早就碰到过他了， 他确立了欧拉对于正弦函数的无尽乘积的合感性. 自 1856 年起， 魏尔施特拉斯运行担任柏林大学的数学教悔， 他在那边教悔周期为两年的分析学， 培养了 19 世纪晚期的好多数学家， 包括索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅 (Sofia Kovalevskaya， 1850—1891)， 首位在欧洲的大学领罕有学教悔席位的女数学家. 对一致一语气性与一致经管性的当代清爽， 主邀功归于魏尔施特拉斯. 他阐发了， 要是一个级数一致经管， 那么它就不错逐项积分，

魏尔施特拉斯不时在课堂上粗糙地共享其数学创见， 并允许学生细化并发表.

图 5.6　卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯

第一个无处可微的一语气函数的例子就是这种情形. 1872 年， 魏尔施特拉斯在课堂上给出了这个例子. 三年后， 他的学生保罗·杜波依斯-雷蒙德将它发表了. 对于魏尔施特拉斯的诸多孝顺的一个极好的先容可见于威廉·邓纳姆 (William Dunham) 的《微积分的历程》(The Calculus Gallery).

魏尔施特拉斯的顺利之路并非一帆风顺. 他父亲对他的欲望是在普鲁士政府谋得一个管理职位. 为此， 他把魏尔施特拉斯送到大学学习法律、金融和经济. 因为父亲不允许他追求数学， 魏尔施特拉斯相当颓落， 他忽略了通盘课程， 连期末西宾也懒得管待. 大学求知一年后， 他插足明斯特大学， 权术成为别称高中数学敦朴. 1841 年， 刚好快到他 26 岁诞辰时， 他终于毕业了， 并得到了第一份教职.

运道的是， 魏尔施特拉斯在明斯特大学的敦朴有克里斯托夫·古德曼 (Christoph Gudermann， 1798—1852)， 他是那时少有的椭圆函数与阿贝尔函数方面的群众之一. 魏尔施特拉斯的最大孝顺就在于对这类函数的研究， 缺憾的是， 只好极少数数学本科专科课程会先容这类函数. 在业余时期， 他探究这类函数的玄妙， 偶尔发表几篇著作， 但很少受到暖和. 直到 1854 年， 他发表了《对于阿贝尔函数的表面》( “Zur Theorie der Abelschen Functionen” )， 这项责任是如斯紧迫， 以至于哥尼斯堡大学授予他荣誉博士学位， 柏林大学则聘用他为数学教悔.

为接头魏尔施特拉斯所取得的建树， 咱们需要复平面的微积分学问， 因此这超出了咱们在这些篇幅里不错解释的界限. 可是， 由于椭圆函数相当紧迫， 在现在最欢乐东说念主心的数学 (从费马大定理的阐发一直到当代物理中的弦论) 中占有中心位置， 因此值得指出它们是怎样界说的， 以及为什么如斯紧迫. 椭圆函数的名字源于一个也曾困扰牛顿的问题: 求出椭圆的一段弧长. 正如在 2.6 节所提到的， 东说念主们在 1659 年就一经知说念了弧长公式

一朝知说念行星的指令轨说念是椭圆， 天然就引出了求椭圆弧长的问题. 要是咱们推敲中心在原点的上半椭圆 (其中 )， 或

其导数是

从 0 到 的弧长为

其中， .

问题源于被积函数分母中的四次多项式的频频根. 在并吞时期， 东说念主们还发现了其他肖似的积分， 其中最著明的一个是， 详情单摆何时沿着其摆弧到达某给定点的积分.这些积分 (分子是一个多项式， 分母是一个三次或四次多项式的频频根) 其后被称为椭圆积分. 分母是一个五次以上多项式的频频根的积分被称为阿贝尔积分， 源于阿贝尔对它们的研究.

1797 年， 高斯发表了对这些积分的第一个真确观点， 聚焦于最浅薄的情形 (这个函数的图像见图 5.7):

高斯正式到， 可积分的肖似函数 (其分母是一个二次多项式的频频根的函数) 是更常见的函数的反函数，

其中， 是双曲正弦函数， 而 是它的反函数. 第一个观点是， 与其推敲由椭圆积分界说的函数， 不如暖和其反函数.椭圆函数 就界说为 的反函数.

第二个观点源于这么的意志: 椭圆函数只好界说在复平面 上才能展现其真君子性. 天然正弦函数与双曲正弦函数当作实数轴上的函数看起来相当不同， 但要是在复平面上检会它们， 各别就肃清了. 多亏了欧拉公式， 即 3.3 节的式 (3.9)， 咱们有

当作复平面到自身的一个映射， 双曲正弦函数只不外是将正弦的自变量与因变量齐旋转了 . 终点是， 在复平面上， 它们齐是周期函数. 正弦函数有实周期: . 双曲正弦有纯虚周期:

图 5.7　 在 上的图像

椭圆函数具有两个周期. 复平面上的两个线性无关的向量可界说一个平行四边形， 它不错用来产生一个格 (图 5.8). 正如正弦函数在所有这个词实数轴上的值由它在 上的值惟一详情， 一个椭圆函数在所有这个词复平面上的值也由它在这个平行四边形上的值惟一详情. 事实上， 正弦函数与双曲正弦函数只不外是椭圆函数的极点情况， 两个周期之一被拉伸为无尽大.

图 5.8　一个具有周期 1 和 的椭圆函数的周期格

椭圆函数的优好意思与威力源于它们之间的犬牙相制的恒等式与干系. 三角函数等式只不外是椭圆函数全国的纷纭形态的煞白投影. 对椭圆函数的直观， 莫得一个东说念主能胜过印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金 (Srinivasa Ramanujan， 1887—1920)， 他以至经历了两次大学辍学. 当作马德拉斯 (Madras) 的一个职员， 他有契机到马德拉斯大学的数学藏书楼学习， 他在那边学到了椭圆函数， 并运行我方探索这片沃土. 他的发现在其良晌的一世中得到了招供， 他成为英国皇家学会最年青的会员之一， 何况是印度第二个享有此荣誉的东说念主. 由于东说念主们其后发现， 源于椭圆函数的对称遍及大天然， 因此拉马努金的遣散对当代物理来说变得相当根柢.14今天称为金奈 (Chennai).

4

实数的子集

格奥尔格·康托尔以他在麇集论和实数捆绑构方面的责任著称， 不外他是从一个对于傅里叶级数的问题运行作念研究的. 康托尔曾在柏林大学奴才库默尔 (Kummer) 和魏尔施特拉斯研习数论. 在取得担任大学教悔职位的经验后， 他的第一份责任是在哈雷-维滕贝格大学任教， 在那边， 爱德华·海涅说服他研究傅里叶级数中存在的问题. 康托尔很快全力处罚了具有无尽多个不一语气点的函数的傅里叶级数伸开. 这使他意志到， 实数的通盘无限子集并非齐不错比拟大小.

事实上， 正如数学界冉冉意志到的， 对实数的有界无限子集的大小， 存在三种不同的刻画形态: 欢叫性、基数和估计.

欢叫性是其中最陈旧的， 何况在 19 世纪中世前就一经得到了很好的清爽. 要是每一个与 相交的开区间齐包含 的子集 中的至少一个点， 则称 在 中欢叫. 事实上， 你一朝知说念每个开区间齐包含 中至少一丝， 就不难知说念， 每个开区间包含 中无限多个点. 上的一个欢叫子集的经典例子是该区间上的所有这个词有理数. 好多更小的子集， 比如分母为 2 的幂的有理数， 亦然欢叫的.

另一个极点， 是所谓的无处欢叫的子集. 要是 的每个开子区间齐包含着一个子区间， 它跟 不相交， 则麇集 在 中无处欢叫. 任何有限子集齐是无处欢叫的， 麇集 在 中亦然无处欢叫的. 的每个开子区间 齐包含一丝 ， 它不是某整数的倒数， 因此它介于 与 之间 ( 为正整数). 与 的交就是 的一个子区间， 它不包含任何形如 的数.

恰是康托尔在 1873 年发现 (并于次年发表) 了无限麇集的基数的紧迫性.两个麇集具有换取的基数， 当且仅当它们之间存在逐一双应的干系. 在这个真理下， 区间上的有理数集不栽种正整数集. 从 和 动身， 咱们不错将有理数线性排序: 取有理数的从简局面， 要是 或 ， 而 ， 则 排在 之前. 中的所有这个词有理数不错与正整数酿成逐一双应的干系， 如下所示.

有限集或不错与正整数集酿成逐一双应干系的麇集齐称为可数的. 有理数集是可数的. 这也许不及为怪. 那么究竟是否只好一种无限呢？康托尔 1874 年的论文标明， 存在更大的无限. 终点是， 区间上的所有这个词实数无法与正整数集组成逐一双应的干系. 这个事实的规律阐发有赖于实数的无限少许暗示是家喻户晓的.邓纳姆对康托尔的原始阐发给出了优好意思的请问， 这个阐发径直建立在实数的完备性基础上.要是一个麇集不是可数的， 就称为不可数. 区间上的实数集不可数.

咱们在 5.2 节遭遇了刻画一个麇集大小的第三种形态， 称为估计. 勒贝格用三条准则来界说它:

(1) 区间的估计是其长度， 单点集的估计是 0， 对于有限多个或可数无尽多个有估计界说的麇集的无交并， 其估计是各个子麇集的估计之和;

(2) 对一个麇集作念平移 (即每个元素加上并吞个数) 不会蜕变其估计;

(3) 若 和 齐有界说邃密的估计， 则 与 (在麇集 中而不在麇集 中的元素组成的麇集) 齐有界说邃密的估计， 何况后者的估计等于 的估计减去 的估计.

正如勒贝格所能阐发的， 这些要求惟一详情了度量实数子集大小的形态. 为求出一个麇集 的估计， 咱们界说 的一个袒护 为开区间的轻易一个包含了 的可数并， 而该袒护的长度则界说为这些开区间的长度之和.若 的估计存在， 则它必定等于 的通盘袒护之长度的下确界. 要是咱们推敲 的子集， 则这个区间上的有理数集 (它是可数多个估计等于 0 的麇集的无交并) 的估计等于 0， 而这个区间上的额外数集具有估计 1. 轻易可数集必的估计势必为 0. 那么 上的不可数集又怎样呢？

正如康托尔所标明的， 一个不可数集的估计也可能为 0. 要是咱们从区间 动身， 去掉开区间 ， 就得到了一个估计为 的麇集. 要是咱们链接去掉剩下两个区间中间的三分之一， 即 和 ， 就能得到一个估计为 的麇集. 依样画葫芦， 咱们在每一步去掉上一步剩下的各个区间中间的三分之一. 在第 步以后， 咱们得到 个区间， 其总估计是 (图 5.9). 麇集 随机称为康托尔尘 (Cantor dust)， 它由 中剩下的点组成. 被去掉的麇集是一些区间的可数并， 从而康托尔尘是可测的， 何况其估计是

麇集 泄漏包含了通盘区间的端点， 即分母为 3 的幂的有理数. 也许会让你骇怪的是， 中还包含不可数个其他点.

图 5.9　通夙昔掉中间的三分之一来构造康托尔集

对此， 最浅薄的形态是摄取 3 为底数， 或者 0 和 1 之间的实数的三进制暗示. 举例

这些区间的端点是有穷的三进制少许. 0 和 1 之间的每个实数齐不错在十进制下暗示为一个无尽少许， 何况这个暗示是惟一的， 除了那些有限少许也不错暗示为以无尽多个 9 收尾的无尽少许之外， 举例

以肖似的形态， 0 和 1 之间的每个实数齐不错在三进制下暗示为一个无尽少许 (其中只用到数字 )， 何况这个暗示是惟一的， 除了那些有限少许也不错暗示为以无尽多个 2 收尾的无尽少许之外， 举例

康托尔尘由单元区间去掉了区间 ， 然后是 和 ， 再接下来是 ， 以及 等之后剩下的点组成. 换言之， 咱们去掉了通盘其惟一三进制暗示中在某个 1 之后有非零数字的数. 一个三进制暗示中只含有 0 和 2 的实数一定包含在康托尔尘中. 终点是， 康托尔尘中的一个元素是

这么的数有些许呢？泄漏在 与形如

的二进制暗示的数之间有逐一双应的干系.

可是， 单元区间上的每一个实数齐有这么一个二进制暗示， 因此 的基数与单元区间 的基数雷同大.

麇集 是屈膝直观的. 它是无处欢叫的: 每一个与 相交的开区间必定与咱们去掉的某个开区间有杂乱. 它是不可数的. 何况它具有估计 0.

一个无处欢叫的麇集不错具有正的估计吗？复兴是治服的. 要是咱们不是去掉中间的三分之一区间， 而是去掉中间的五分之一区间， 那么每个开区间将仍然与其中之一有杂乱， 但剩下的麇集的估计是

通过考取更小的分数， 咱们不错使得剩下来的无处欢叫集的估计与 1 轻易接近.

那么一个欢叫子集是否不错有估计 0 呢？要是它是可数的， 比如说是有理数集， 那么复兴泄漏是治服的. 不外即便这个麇集不可数， 复兴也不错是治服的. 从康托尔集 动身， 将 的一个副本 (按比例减轻) 放到区间 中. 然后将 的另一个副本 (按比例减轻) 放到那 3 个被去掉的长度为 的区间中. 将 的另一个副本 (按比例减轻) 放到那 9 个被去掉的长度为 的区间中. 如斯下去， 直至无尽. 由于每一个麇集的估计为 0， 故通盘这些麇集的并集估计为 0， 不外它在 中欢叫.

要而言之， 刻画 的一个无限子集的大小有三种形态:

一共会产生 8 种可能的组合， 其中只好两种不会出现， 即“可数”与“正估计”连结的两种组合.

种非常情况， 因此这五个子集不行齐备是可测的. 除此之外， 通过践诺他们的论证， 不错阐发轻易立体样式不错辩认为有限多个子块， 并用刚体指令重组为其他立体样式. 这个遣散的一个宜东说念主的阐发可见瓦普纳 (Wapner) 的 [70]， 书名《豌豆和太阳》(The Pea and the Sun) 的含义在于， 要是咱们接管选拔公理， 那么表面上有可能将一粒豌豆 (pea) 分割成有限多块， 然后诓骗刚体指令将它们重组为太阳 (sun) 大小的球体.

就像一语气统假设雷同， 咱们不错选拔接管或阻隔选拔公理， 而不影响咱们对实数所知的其他一切， 包括咱们是否选拔接管一语气统假设. 实数集果真是超出了你的遐想.

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

作家：邓纳姆

译者：李伯民 汪军 张怀勇

本书荣获“第七届文津史籍奖推选书目”。

这不是一册数学家的列传，而是一座展示微积分宏伟画卷的罗列室。书中的每一个遣散，从牛顿的正弦函数的推导，时时彩app到伽玛函数的暗示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时间的研究前沿，于今还能干着瞩目夺计算后光。

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